벡터장의 흐름과 순환

NRichard Feynman의 강의 자료를 바탕으로

벡터장의 관점에서 전기 법칙을 설명할 때 우리는 벡터장의 수학적으로 중요한 두 가지 특징인 플럭스와 순환에 직면하게 됩니다. 이러한 수학적 개념이 무엇이며 실제 의미가 무엇인지 이해하는 것이 좋을 것입니다.

질문의 두 번째 부분은 흐름과 순환의 개념이 핵심이기 때문에 바로 대답하기 쉽습니다. 맥스웰 방정식, 모든 현대 전기 역학이 실제로 달려 있습니다.

따라서 예를 들어 전자기 유도 법칙은 다음과 같이 공식화될 수 있습니다. 폐루프 C를 따라 전기장 E의 순환은 이것에 의해 경계를 이루는 표면 S를 통과하는 자기장 B의 플럭스 변화율과 같습니다. 루프 B.

다음에서는 필드 특성이 수학적으로 결정되는 방법과 이러한 필드 특성을 취하고 얻는 방법을 명확한 유체 예제를 사용하여 매우 간단하게 설명합니다.

벡터 필드 플럭스

우선, 연구 영역 주위에 완전히 임의의 모양의 닫힌 표면을 그립니다. 이 표면을 묘사한 후 우리는 필드라고 부르는 연구 대상이 이 닫힌 표면을 통해 흐르는지 묻습니다. 이것이 무엇인지 이해하려면 간단한 액체 예를 고려하십시오.

특정 유체의 속도장을 조사한다고 가정해 보겠습니다. 그러한 예의 경우 다음과 같이 질문하는 것이 합리적입니다. 이 표면에 의해 경계를 이루는 볼륨으로 흐르는 것보다 단위 시간당 이 표면을 통과하는 유체가 더 많습니까? 즉, 유출 속도는 항상 주로 내부에서 외부로 향합니까?

"벡터 필드 플럭스"라는 표현(그리고 이 예에서는 "유체 속도 플럭스"라는 표현이 더 정확할 것임)으로 주어진 부피의 표면을 통해 흐르는 가상 유체의 총량을 명명하는 데 동의합니다. 닫힌 표면(유체 유량의 경우 단위 시간당 체적에서 나오는 유체의 양).

결과적으로 표면 요소를 통과하는 플럭스는 속도의 수직 성분에 의해 표면 요소의 면적의 곱과 같습니다. 그러면 전체 표면에 걸친 총(총) 플럭스는 속도의 평균 법선 성분의 곱과 같을 것입니다. 이 값은 내부에서 바깥쪽으로 세어 총 표면적에 의해 계산됩니다.

이제 전기장으로 돌아갑니다. 물론 전기장은 일부 액체의 흐름 속도로 간주될 수 없지만 위에서 액체 속도의 흐름으로 설명한 것과 유사한 흐름의 수학적 개념을 도입할 자격이 있습니다.

전기장의 경우에만 그 플럭스는 전계 강도 E의 평균 법선 성분에 의해 결정될 수 있습니다. 또한 전기장의 플럭스는 반드시 닫힌 표면을 통해서가 아니라 경계면을 통해 결정될 수 있습니다. 0이 아닌 영역의 S .

벡터장의 순환

더 명확하게하기 위해 접선의 방향이 전계 강도의 방향과 일치하는 각 지점에서 필드를 소위 힘선의 형태로 묘사 할 수 있다는 것은 모든 사람에게 잘 알려져 있습니다.

유체 비유로 돌아가서 유체의 속도장을 상상해 봅시다 유체가 순환하고 있습니까? 즉, 가상의 폐쇄 루프 방향으로 주로 이동합니까?

명확성을 높이기 위해 큰 용기의 액체가 어떻게 든 움직이고 (그림 A) 갑자기 거의 모든 부피가 얼었지만 부피가없는 균일하게 닫힌 튜브 형태로 부피가 얼지 않은 상태로 유지되었습니다. 벽에 액체의 마찰 (그림 b).

이 관 외부에서는 액체가 얼음으로 변하여 더 이상 움직일 수 없지만, 관 내부에서는 예를 들어 시계 방향으로 액체를 구동하는 우세한 모멘텀이 있는 경우 액체가 계속 움직일 수 있습니다(그림 1). . ° C). 그런 다음 튜브의 유체 속도와 튜브 길이의 곱을 유체 속도 순환이라고 합니다.

유사하게, 우리는 벡터 필드에 대한 순환을 정의할 수 있습니다. 다시 필드가 어떤 것의 속도라고 말할 수는 없지만 그럼에도 불구하고 윤곽선을 따라 "순환"의 수학적 특성을 정의할 수 있습니다.

따라서 가상의 폐루프를 따라 벡터 필드의 순환은 루프가 통과하는 방향으로 벡터의 평균 접선 성분과 루프 길이의 곱으로 정의할 수 있습니다.