접촉 회로 대수학, 부울 대수학의 법칙

릴레이 회로의 구조 및 작동 조건에 대한 분석 기록을 통해 회로의 분석 등가 변환을 수행할 수 있습니다. 즉, 구조 공식을 변환하여 작동과 유사한 체계를 찾습니다. 변환 방법은 특히 접촉 회로를 표현하는 구조 공식을 위해 완전히 개발되었습니다.

접촉 회로의 경우 논리 대수학의 수학적 장치가 사용되며, 보다 정확하게는 명제 미적분학 또는 부울 대수학(지난 세기 J. Boole의 수학자 이후)이라고 하는 가장 간단한 종류 중 하나가 사용됩니다.

명제 미적분은 원래 그들을 구성하는 단순 명제의 참 또는 거짓에 대한 복잡한 판단의 참 또는 거짓을 연구하기 위해 개발되었습니다. 본질적으로 명제 미적분은 두 수의 대수학, 즉 각 개별 인수와 각 함수는 두 값 중 하나를 가질 수 있습니다.

이것은 부울 대수를 사용하여 접촉 회로를 변환할 가능성을 결정합니다. 구조 공식에 포함된 각 인수(접점)는 두 개의 값만 가질 수 있기 때문입니다. 즉, 닫히거나 열 수 있고 전체 함수는 구조 수식은 닫힌 루프 또는 열린 루프를 표현할 수 있습니다.

부울 대수는 다음을 소개합니다.

1) 일반 대수에서와 같이 이름이 있는 개체: 독립 변수 및 함수 — 그러나 일반 대수와 달리 부울 대수에서는 둘 다 0과 1의 두 값만 가질 수 있습니다.

2) 기본 논리 연산:

• 논리 덧셈(또는 기호 ?로 표시되는 분리, 논리 OR)은 다음과 같이 정의됩니다. 연산의 모든 인수가 0인 경우에만 연산의 결과가 0이고, 그렇지 않은 경우 결과는 1입니다.

• 논리 곱셈(또는 연결, 논리 AND, ?로 표시되거나 전혀 지정되지 않음)은 다음과 같이 정의됩니다. 연산의 모든 인수가 1인 경우에만 연산의 결과가 1이고, 그렇지 않은 경우 결과는 1입니다. 0이다;

• 부정(또는 그 반대, 논리적 NOT, 인수 위에 막대로 표시됨)은 다음과 같이 정의됩니다. 연산의 결과는 인수의 반대 값을 가집니다.

3) 논리적 표현을 변환하는 규칙을 정의하는 공리(부울 대수의 법칙).

각각의 논리 연산은 변수와 함수 모두에서 수행될 수 있으며 아래에서 부울 함수라고 합니다... 일반 대수와 유사하게 부울 대수에서 논리 곱셈의 연산이 논리 연산보다 우선합니다. 덧셈 연산.

부울 표현식은 연산의 인수라고 하는 여러 개체(변수 또는 함수)에 대한 논리 연산을 결합하여 구성됩니다.

부울 대수의 법칙을 사용하여 논리식을 변환하는 것은 일반적으로 최소화를 목적으로 수행됩니다. 표현이 단순할수록 논리식의 기술적 구현인 논리 사슬의 복잡성이 작아지기 때문입니다.

부울 대수의 법칙은 일련의 공리와 결과로 제시됩니다. 변수의 다른 값을 대체하여 매우 간단하게 확인할 수 있습니다.

부울 함수에 대한 논리적 표현의 기술적 아날로그는 논리 다이어그램... 이 경우 부울 함수가 의존하는 변수는 이 회로의 외부 입력에 연결되고 부울 함수의 값은 회로의 외부 출력 및 논리 식의 각 논리 연산은 논리 요소에 의해 구현됩니다.

따라서 논리 회로의 출력에 있는 각 입력 신호 세트에 대해 이 변수 ​​세트의 부울 함수 값에 해당하는 신호가 생성됩니다(자세히 다음 규칙을 사용합니다. 0 - 낮은 신호 레벨 , 1 - 높은 수준의 신호).

논리 회로를 구성할 때 변수가 paraphase 코드의 입력에 공급된다고 가정합니다(즉, 변수의 직접 값과 역 값을 모두 사용할 수 있음).

표 1은 GOST 2.743-91에 따른 일부 논리 요소의 기존 그래픽 지정과 외국 대응물을 보여줍니다.

탭에는 부울 대수(AND, OR, NOT)의 세 가지 연산을 수행하는 요소 외에도. 1은 기본에서 파생된 작업을 수행하는 요소를 보여줍니다.

— AND -NOT — 논리 곱셈의 부정, Schaefer 이동이라고도 함(|로 표시)

— OR -NOT — 논리 보수의 부정, Peirce의 화살표라고도 함(?로 표시됨)

논리 게이트를 함께 직렬로 연결하면 모든 부울 함수를 구현할 수 있습니다.

일반적으로 릴레이 회로를 표현하는 구조식, 즉 반응하는 독수리 기호를 포함하는 구조식은 폐쇄 회로 또는 개방 회로만을 나타내는 두 값의 함수로 간주될 수 없습니다. 따라서 이러한 함수로 작업할 때 부울 대수의 한계를 넘어서는 여러 가지 새로운 종속성이 발생합니다.

부울 대수에는 네 쌍의 기본 법칙이 있습니다: 두 개의 변위, 두 개의 조합, 두 개의 분배 및 두 개의 적법한 반전. 이 법칙은 서로 다른 표현의 동등성을 확립합니다. 즉, 일반 대수학에서 항등식을 대입하는 것과 같이 서로 대체할 수 있는 표현을 고려합니다. 등가 기호로 일반 대수(=)의 등호 기호와 동일한 기호를 사용합니다.

등가식의 좌변과 우변에 해당하는 회로를 고려하여 접촉회로에 대한 부울대수법칙의 타당성을 규명한다.

여행법

추가하려면: x + y = y + x

이러한 식에 해당하는 개략도는 그림 1에 나와 있습니다. 1, 아.

왼쪽 및 오른쪽 회로는 일반적으로 개방 회로이며 각 요소(X 또는 Y) 중 하나가 트리거될 때 닫힙니다. 즉, 이러한 회로는 동일합니다. 곱셈의 경우: x·y = y·NS.

이러한 식에 해당하는 개략도는 그림 1에 나와 있습니다. 1b, 그들의 등가성도 분명합니다.

쌀. 1

조합의 법칙

추가: (x + y) + z = x + (y + z)

곱셈의 경우: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

이러한 식에 해당하는 등가 회로 쌍이 그림 1에 나와 있습니다. 2, 가, 나

쌀. 2

유통법

곱셈 대 덧셈: (x + y) +z = x + (y + z)

덧셈과 곱셈. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

이러한 식에 해당하는 개략도는 그림 1에 나와 있습니다. 3, 가, 나.

쌀. 삼.

이러한 방식의 동등성은 다양한 접점 작동 조합을 고려하여 쉽게 확인할 수 있습니다.

반전의 법칙

추가 시: NS + c = NS·c

식 왼쪽 위의 막대는 부정 또는 반전 기호입니다. 이 기호는 부정 기호 아래의 식에 대해 전체 함수가 반대 의미를 가짐을 나타냅니다. 전체 역함수에 해당하는 다이어그램은 그릴 수 없지만 음수 기호 아래의 식에 해당하는 다이어그램은 그릴 수 있습니다. 따라서 공식은 그림 1에 표시된 다이어그램으로 설명할 수 있습니다. 4, 가.

쌀. 4.

왼쪽 다이어그램은 표현 x + y에 해당하고 오른쪽 다이어그램은 NS ·c에 해당합니다.

이 두 회로는 작동 시 서로 반대입니다. 즉, 여기되지 않은 요소 X, Y가 있는 왼쪽 회로가 개방 회로이면 오른쪽 회로가 닫힙니다. 왼쪽 회로에서 요소 중 하나가 트리거되면 회로가 닫히고 오른쪽 회로에서는 반대로 열립니다.

음의 부호의 정의에 따라 함수 x + y는 함수 x + y의 역수이므로 x + y = NS·in인 것이 분명합니다.

곱셈에 대해: NS · c = NS + c

해당 구성표가 그림에 나와 있습니다. 4, 나.

덧셈에 관한 곱셈의 전치법과 조합법과 법칙과 분배 법칙(일반 대수학의 유사한 법칙에 해당).따라서 항의 덧셈과 곱셈, 괄호 밖의 항 배치 및 괄호 확장의 순서로 구조식을 변환하는 경우 일반 대수식 작업을 위해 설정된 규칙을 따를 수 있습니다. 곱셈에 대한 덧셈의 분배 법칙과 역의 법칙은 부울 대수에만 적용됩니다.